Podwójna metoda najmniejszych kwadratów

 

Podwójna metoda najmniejszych kwadratów (2MNK) jest stosowana do estymacji równań niejednoznacznie identyfikowalnych (w przypadku równania identyfikowalnego  jednoznacznie 2MNK jest tożsama z pośrednią MNK). Metoda ta polega na dwukrotnym zastosowaniu MNK:

·        najpierw do oszacowania tych równań postaci zredukowanej, które objaśniają zmienne endogeniczne występujące w danym równaniu strukturalnym jako objaśniające, tak, aby na podstawie tych równań można było obliczyć wartości teoretyczne tych zmiennych,

·        następnie stosujemy MNK do danego równania strukturalnego, ale zamiast wektorów obserwacji zmiennych endogenicznych objaśniających korzystamy
z wektorów ich wartości teoretycznych obliczonych w pierwszym kroku.

 Parametry każdego równania szacuje się oddzielnie.  Niżej podajemy sposób postępowania przy stosowaniu tej metody. Przyjmijmy, że szacowne równanie jest pierwszym równaniem modelu i ma następującą postać:

 

 

spełnione są przy tym nierówności  oraz . Idea metody polega na wyrażeniu zmiennych  przez zmienne . Można to osiągnąć, stosując klasyczna metodę najmniejszych kwadratów. Następnie do nowej postaci równania, pozbawionej zmiennych łącznie współzależnych, powtórnie stosuje się klasyczną metodę najmniejszych kwadratów.

 

            Niżej podano wzory, pozwalające bezpośrednio, bez potrzeby wyrażania zmiennych poprzez zmienne  uzyskać oceny parametrów  oraz . W tym celu wprowadza się następujące oznaczenia:

- wektor zaobserwowanych wartości zmiennej endogenicznej o wymiarach

- macierz o wymiarach  zaobserwowanych wartości zmiennych .

 - macierz o wymiarach zaobserwowanych wartości zmiennych z góry ustalonych, które występują w szacowanym równaniu.

- macierz o wymiarach zaobserwowanych wartości wszystkich zmiennych z góry ustalonych występujących w modelu.

- wektor ocen parametrów strukturalnych o wymiarach , gdzie jest wektorem o wymiarach ocen parametrów , natomiast - wektorem o wymiarach ocen parametrów

Stad:

gdzie:

Otrzymane estymatory są zgodne, a ich macierz wariancji i kowariancji jest równa

Ocenę można znaleźć z wyrażenia:

 

 

            Z eksperymentów Monte-Carlo wynika ponadto, że 2MNK-estymator jest odporny, tzn. jego  wartości są mało wrażliwe na m.in. współliniowość zmiennych objaśniających oraz błędy specyfikacji. W tym przede wszystkim należy upatrywać popularność tego estymatora. Zastosowanie metody 2MNK w przypadku dużych modeli ekonometrycznych może być jednakże niewykonalne, ponieważ całkowita liczba zmiennych egzogenicznych przekracza często liczbę obserwacji. W tej sytuacji niemożliwe staje się utworzenie postaci zredukowanej i oszacowanie jej parametrów (pierwszy krok procedury). Proponuje się wówczas, aby zamiast zmiennych egzogenicznych użyć zmiennych, nazywanych głównymi składnikami (ang. principal components), które tworzy się, jako liniowe kombinacje tych poprzednich lub innych, pochodzących spoza modelu. Wymaga się, aby tak skonstruowane główne składniki charakteryzowały w możliwie najlepszy sposób wariancje zmiennych egzogenicznych, które zastępują, oraz aby miały interpretację ekonomiczną (składały się ze zmiennych, których kombinacja liniowa posiada sens ekonomiczny).

 

 

Bibliografia:

1. "Ekonometria: Metody i ich zastosowanie" -  Welfe Aleksander - Warszawa 1998

2. "Ekonomia" - Gruszczyński Marek,  (red.) Podgórska Maria - Warszawa 2000

 

Strona główna