Powrót - ekonometria

 

 

 

 Ekonometria

 

Literatura:

Kukuła                      „Elementy ekonometrii w przykładach i zadaniach”

Kukuła                      „Badania operacyjne w zadaniach i przykładach”

Pawłowski               Ekonometria” (wszystkie pozycje o tym tytule)

 

 

Chow (1995)

„Ekonometria jest nauką i sztuką stosowania metod stystycznych do mierzenia relacji ekonomicznych”.

 

Pawłowski (1978)

„Ekonometria jest nauką o metodach badania ilościowych prawidłowości występujących w zjawiskach ekonomicznych za pomocą odpowiednio wyspecjalizowanego aparatu matematyczno – statystycznego” .

 

 

Metody ekonometryczne

Hellwig (1973)

Metody ekonometryczne sa to więc przeważnie metody statystyczne (rzadziej matematyczne), przy czym nazwą ekonometrycznych zawdzięczają dziedzinie zastosowań”.

 

 

 

Metody ekonometryczne są możliwe, kiedy spełnione są 4 warunki:

1.      analizowana prawidłowość ekonomiczna ulega nieznacznym zmianom w czasie bądź może być stała.

2.      zjawisko ekonomiczne i pozaekonomiczne musi być mierzalne.

3.      czynniki oddziałujące na badane środowisko dzielimy na grupy:

Ø     czynniki dominujące

Ø     czynniki przypadkowe

4.      dostępne muszą być dane statystyczne analizowanych czynników.

 

Rodzaje danych:

1.      szeregi czasowe wartości zmiennych w postaci zasobów( na dany okres czasu) i strumieni (np. za cały miesiąc).

2.      dane przekrojowe (rozważamy zjawisko w jednym momencie dla różnych jednostek.

 

Zadania ekonometrii możemy podzielić na:

1.      opisowo – analityczne – wykorzystywane do analizy relacji zachodzących pomiędzy zmiennymi

2.      prognostyczne – wyznaczanie i obliczanie prognoz.

 

Modele ekonometryczne

Narzędziem ekonometrycznym służącym do analizy zależności zachodzacych między różnymi zjawiskami jest model ekonometryczny.

 

„Model ekonometryczny jest to konstrukcja formalna, która za pomocą jednego równania lub układu równań przedstawia zasadnicze powiązania wystepujące pomiędzy rozpatrywanymi zjawiskami ekonomicznymi”.

 

Postać modelu

y = f (x,ξ)

Zmienna endogeniczna y jest to zmienna wyjaśniona przez model (jest ona przedmiotem analizy).

Zmienna endogeniczna objaśniana jest przedmiotem analizy w pojedynczym równaniu (y).

Zmienna objaśniająca x to zmienne, które opisują kształtowanie się zmiennej endogenicznej (pojedyncze równanie).

Zmienne egzogeniczne to takie zmienne objaśniające, które występują w modelu w celu opisania kształtowania się zmiennej y , ale same nie są przedmiotem analizy.

 

Symbol ξ jest to składnik losowy.

 

y = f (x , ξ)

 

                                               część dominująca                część przypadkowa

 

Symbol f( ) oznacza określoną postać analityczną funkcji zmiennych objaśniających.

W modelu występują dwa rodzaje parametrów:

    parametry strukturalne modelu,

    parametry struktury stochastycznej modelu, czyli parametry rozkładu ξ modelu.

 

Wszystko co jest związane ze składnikiem losowym jest stochastyczne.

 

Przykładem modelu ekonometrycznego może być model konsumpcji:

 

K1 = β0 + β1Dtt

 

t          -          szereg czasowy

i          -          szereg przekrojowy

Dt        -          dochód

ξt        -           przypadkowy

 

Klasyfikacja modeli ekonometrycznych.

Klasyfikacja modeli ekonometrycznych dokonuje się na podstawie następujących kryteriów:

    cel badania         – opisowe                             ekonometria

            -  optymalizujące                programowanie liniowe (operacyjne)

    występowanie składnika losowego:

-         deternistyczne (składnik losowy nie występuje)

-         stochastyczne (składnik losowy występuje)

    postać funkcji analitycznej:

-         liniowe

-         nieliniowe

-         sprowadzalne do liniowych

-         niesprowadzalne do liniowych

    liczba rozpatrywanych zależności:

-         jednorównaniowych

-         wielorównaniowych

    dynamiczność zależności:

-         statyczne (to modele, w których rozważane zmienne pochodzą z tego samego określonego czasu i opisują zależności w tym samym okresie czasu)

-         dynamiczne (modele, w których występują zmienne endogeniczne opóźnione w czasie yt-p, p=1,.....,m lub zmienne egzogeniczne opóźniane w czasie Xt-q  q=1,...,n lub zmienna czasowa t.

 

 

    zakres badania:

-         mikroekonomiczne

-         makroekonomiczne

 

    charakter powiązań między zmiennymi endogenicznymi (charakter dotyczy modeli wielorównaniowych):

-         prosty – jest to model w którym nie ma powiązań pomiędzy zmiennymi endogenicznymi

-         rekurencyjny – powiązania pomiędzy zmiennymi endogenicznymi są jednokierunkowe.

-         o równaniach współzależnych (powiązania maja charakter sprężeń zwrotnych).

 

    charakter poznawczy:

-         przyczynowo – skutkowy – możemy bezpośrednio określić, które zmienne są przyczyną, a które skutkiem

-         symptomatyczny – nie możemy bezpośrednio określić skutku. Związek pomiędzy zmienną  egzogeniczną i endogeniczną jest określany na podstawie silnej korelacji

-         tendencji rozwojowej – opisują przebieg zjawiska w czasie.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Etapy budowy modelu ekonometrycznego

 


sprecyzowanie zakresu

 badania

 

 


określenie zmiennych

endogenicznych

 

 


dobór zmiennych

objaśniających

 

 


zebranie danych

statystycznych

 

 


wybór postaci

analitycznej modelu

 

 


estymacja

parametrów modelu

 

 


weryfikacja modelu

 

 

 


wykorzystanie

modelu

 

 

 

 

Zasady interpretacji parametrów w modelach statystycznych.

 

1.      Model liniowy

yt =  β0 +  β1xt1  +  β2t2 + .... + βkxtk + ξt

t = 1,.....,T

czyli

yt = β0 + βtxti + ξt

 

 

wektor obserwacji na zmiennej endogenicznej oraz macierz obserwacji na zmiennych egzogenicznych przyjmują postacie odpowiednio:

 

 


            y1                                                          1          x11       x12       ...         x1k

Y =      y2                           ,           x =      1          x21       x22       ...         x2k

                :                                              :          :          :          :          :

            yT                                                          1          xT1         xT2       ...         xTK

 

 

Interpretacja parametru βi

jeżeli zmienna xt wzrośnie o jednostkę, a pozostałe zmienne objaśniające nie ulegną zmianie to zmienna endogeniczna zmieni się średnio o βi jednostek.

k          -          liczba zmiennych objaśniających równania

β         -          parametr strukturalny modelu

k+1     -          liczba parametrów strukturalnych

T         -          liczba obserwacji

 

Liczba stopni swobody:

T – (k+1) = T – k – 1

 

 

2.      Model potęgowy

 


yt = β0 xβ xβ  * ... * xβξt                        t= 1, ...,T

lub

 


ln yt = ln β0 + β1 ln xt1 + β2 ln xt2  + ... βk ln xtk  + ln ξt

 

 

 

 

 

Interpretacja parametru βi:

Jeżeli zmienna xi wzrośnie o 1% , a pozostałe zmienne objaśniające nie ulegną zmianie to zmienna endogeniczna zmieni się średnio o βi%.

 

3.      Model wykładniczy

 

 


 

t = 1, ...,T

 

 

 

 

 

 


 

 

w postaci liniowej

 

lnyt = β0 + β1xt1 + β2xt2 + ....+ βkxtk + ξt

 

           

 

 

interpretacja parametru βi:

jeżeli zmienna xi wzrośnie o jednostkę, a pozostałe zmienne nie ulegną zmianie, to zmienna endogeniczna zmieni się średnio o (e βi – 1) * 100% czyli w przybliżeniu o βi * 100%.

 

 

 

 

 

 

Metoda Najmniejszych Kwadratów (MNK).

Metoda ta wykorzystywana jest do szacowania parametrów modeli liniowych oraz modeli nieliniowych, które można sprowadzić do postaci liniowej.

 

Niech będzie dany model:

 

 

gdzie:

y – zmienna objaśniana

x – zmienna objaśniająca

b - parametry strukturalne

x - składnik losowy

t – subskrypt numerujący kolejne obserwacje (t = 1,2,....,T)

k – liczba zmiennych objaśniających

 

Powody uwzględniania składnika losowego:

·        indeterminizm (nieokreśloność) – np. konsument w warunkach wyboru za każdym razem przy tych samych warunkach może podjąć nieco inną decyzję;

·        błędy obserwacji wynikające np. z nierzetelności;

·        wady w konstrukcji modelu wynikające np. z niewłaściwej konstrukcji dynamicznej modelu.

 

Założenia modelu regresji liniowej:

1.      Postać funkcjonalna modelu jest liniowa.

2.      , czyli wartość oczekiwana składnika losowego jest równa zero, nie występują wahania przypadkowe, składnik losowy nie zadziała.

3.      , czyli wariancja składnika losowego jest stała w czasie; jeżeli wystąpią już wahania w czasie to zawsze o tą samą wartość.

x t – jest homoskedastyczny – posiada stałą wariancję w czasie

4.      , jeśli t ¹ s, założenie o braku autokorelacji składnika losowego.

Autokorelacja – jest to przenoszenie oddziaływania składnika losowego z okresu t na składnik losowy z okresu s.

5.      , czyli zmienne objaśniające są zmiennymi nielosowymi.

6.      , czyli składnik losowy ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej równej zero i wariancji stałej w czasie, wynika to z założenia 2 i 3.

 

Powyższe założenia są to założenia stochastyczne, czyli dotyczące składnika losowego.

 

 

Zapis macierzy modelu:

 


 

Założenia numeryczne MNK:

1.      rz (X) = k + 1, czyli rząd macierzy X równa się liczbie parametrów strukturalnych.

2.      k + 1 < T, czyli liczba szacowanych parametrów musi być mniejsza od liczby obserwacji. 

 

Rząd macierzy – jest to liczba liniowo niezależnych kolumn.

 

 – reszta jest oceną nieznanej rzeczywistej wartości składnika losowego ξ wyznaczoną na podstawie oszacowanego modelu.   

 

Ideą KMNK (Klasyczna Metoda Najmniejszych Kwadratów) jest minimalizacja sumy kwadratów reszty.

 

 

 

 

Warunek konieczny istnienia funkcji ekstremum:

 

 

Druga pochodna jest określona nieujemnie:

 

 

a zatem postać estymatora uzyskanego klasyczną metodą najmniejszych kwadratów jest następująca:

 

 

 

 

 

Współliniowość zmiennych a założenia numeryczne.

 

Jeżeli nie będą spełnione założenia numeryczne wówczas występuje współliniowość zmiennych objaśniających.

Współliniowość zmiennych – polega na tym, że szeregi reprezentujące zmienne objaśniające są nadmiernie skorelowane.

 

 

Konsekwencje występowania współliniowości:

1.      W przypadku współliniowości dokładnej brak możliwości oszacowania parametrów modelu metodą MNK.

r (x)  =  k + 1

Jeżeli występuje zależność między zmiennymi strukturalnymi to:

nie możemy zastosować tego wzoru:

                   

 

2.      W przypadku wysokiej korelacji oceny wariancji estymatorów MNK są bardzo duże.

Wyznacznik macierzy zmierza do zera, ale nie może go osiągnąć. ekonometria

 

Reszta obliczana jest w sposób następujący:

 

            wartość oszacowana

 

wartość rzeczywista

 

Ekonometria : Własności estymatora MNK.

 

Estymator jest BLUE (the Best Linear Unbiased Estimator), czyli najlepszy liniowy nieobciążony estymator.

 

Własności estymatora MNK:

Þ    nieobciążony – obliczona wartość parametrów strukturalnych jest równa ich wartości rzeczywistej;

Þ    zgodny – dla dowolnie wybranej grupy (nieskończenie wiele obserwacji) zawsze otrzymamy tę samą wartość parametru β;

Þ    najefektywniejszy – estymator ma najmniejszą wariancję spośród wszystkich możliwych do wyznaczenia estymatorów.

 

 

Średnie błędy szacunku parametrów strukturalnych obliczamy na podstawie:

Losowe błędy estymacji mają wariancje i kowariancje, które są elementami macierzy wariancji i kowariancji błędów ocen parametrów strukturalnych, oznaczaną przez:

 

 

 

 

 

 

 

Błędy estymacji parametrów są liniowymi funkcjami składników zakłócających, czyli:

 

 

otrzymuje się:

 

 

Średnie błędy ocen parametrów oblicza się jako pierwiastki kwadratowe z kolejnych elementów wariancji i kowariancji błędów estymacji parametrów.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Weryfikacja modelu ekonometrycznego.

Polega na  sprawdzeniu czy przyjęte założenia dotyczące modelu są spełnione w świetle uzyskanych wyników.

 

Etapy weryfikacji:

1.        Weryfikacja jakościowa – dotycząca założeń ekonomicznych, sprawdzamy czy wyznaczone parametry mają sens ekonomiczny.

2.      Weryfikacja ilościowa – weryfikacja hipotez statystycznych (wariancja w czasie, autokorelacja, rozkład normalny).

 

Weryfikacja ilościowa obejmuje:

{     badanie normalności rozkładu składnika losowego;

{     badanie homoskedastyczności rozkładu składnika losowego;

{     badanie autokorelacji składnika losowego;

{     badanie istotności zmiennych objaśniających;

{     analizę syntetycznych miar dopasowania – służą do sprawdzenia czy model dobrze odzwierciedla kształtowanie się zmiennej endogenicznej.

 

1)      Wariancja resztowa:

 

 

Ocena oszacowania:

 

Reszta:

 

Określa średnie kwadratowe odchylenie wartości teoretycznych od rzeczywistych zmiennych endogenicznych.

 

 

 

 

2)    Odchylenie standardowe  reszt (średni błąd resztowy):

 

 

Określa o ile jednostek średnio rzecz biorąc (±) wartości rzeczywiste zmiennej endogenicznej odchylają się od wartości teoretycznych wyznaczonych na podstawie modelu ekonometrycznego.

 

 

3)    Współczynnik zmienności losowej:

 

 

V = (0%, 10%)

 

Określa procentowy udział średniego błędu resztowego w średniej wartości zmiennej endogenicznej.

Zapis modelu liniowego:

gdzie:

yt – zmienna rzeczywista

ŷt – zmienna teoretyczna, model

ξt – reszta