Powrót - ekonometria

Ekonometria jest dziedziną ekonomii, która zajmuje się analizą  zjawisk ekonomicznych. Wykorzystując narzędzia w teorii ekonomii, matematyki oraz wnioskowania statystycznego. W 1962r.został ogłoszony termin ekonometria Ragnar Frische. (Oskar Lange był pierwszym polskim ekonometrykiem).

 

Dwa nurty w ekonometrii:

— teoria ekonometrii; która obejmuje metody ekonometryczne rozwinięte i dostosowane do szczególnych potrzeb badań ilościowych w ekonomii.

— teoria stosowana; czyli wykorzystanie metod ekonometrycznych do prowadzenia konkretnego badania na podstawie danych statystycznych.

 

Narzędziem ekonometrii jest model ekonometryczny. Rozumiany jako równanie lub układ równań mający za zadanie opisać związki między wybranymi zmiennymi ekonomicznymi równania modelu przedstawione na ogół postaci znormalizowanej – tzn. po lewej stronie występuje zmienna objaśniana (endogeniczna), natomiast po prawej stronie występuje pewna funkcja, w której znajdują się zmienne objaśniające (egzogeniczne) oraz parametry. Równania modelu ekonometrycznego mają charakter stochastyczny lub są tożsamościami:

Np.: Model I gospodarki USA – model Kleina.

Pole tekstowe: Równania stochastyczne (zawierają składniki losowe ε ). 


Równanie konsumpcji

 

Równanie inwestycji

 

Równanie: Płace w sektorze prywatnym

 


Pole tekstowe: Równania tożsamości (równania bilansowe).Równanie: Produkcja

 

Równanie: Dochód

 

Równanie: Kapitał

 

Równanie: Płace ogółem

 

Równanie: Produkcja w sektorze prywatnym

 

 

 

C           konsumpcja,

I             inwestycje,

W          płace ogółem,

W *        płace w sektorze prywatnym,

W * *      płace w sektorze państwowym,

P            zyski (w firmach),

Y            dochód,

K           zasoby kapitałów w końcu roku,

E            produkcja sektora prywatnego,

T            podatki pośrednie (taksa),

G           wydatki rządowe,

t             zmienna czasowa,

 

Przyczyny występowania składnika losowego w modelu ekonometrycznym.

1.      Niewłaściwa postać analityczna (funkcji) modelu.

2.      Niemożność uwzględnienia wszystkich przyczyn kształtujących badane zjawisko.

 

 

3.      Błędy wynikające z niedoskonałości pomiaru.

 

Np.: Jak mierzyć popyt?

      Czy popyt mierzyć poprzez wydatki na określone dobro, ale popyt można również badać poprzez dochody, tak samo produkcję zakupioną czy wytworzoną.

Trzy typy danych statystycznych będących podstawą budowy modelu ekonometrycznego:

 

1.                  Przekrojowe; obserwuje się wiele obiektów w danej jednostce czasu.

2.                  Szeregi czasowe; polegają na tym, że obserwuje się jeden obiekt w różnych jednostkach czasu z danego przedziału.

3.                  Dane przekrojowo—czasowe; wiele obiektów w różnych jednostkach czasu.

 

Przykłady:

            Do pkt.1

                        Bezrobocie wg województw w 2001r.

                        — jedna jednostka czasu 2001 rok.

                        (wiele województw)

            Do pkt.2

                        Bezrobocie w województwie warmińsko – mazurskim w okresie 1998 – 2001r.

                        *— wiele jednostek czasu 1998 – 2001r. (w miesiącach bądź w kwartałach).

                        (jedno województwo)

            Do pkt.3

                        Bezrobocie wg województw w okresie 1998 – 2001r.

                        *— wiele jednostek czasu 1998 – 2001r. (w miesiącach bądź w kwartałach).

                        (wiele województw)

 

Rodzaje modeli ekonometrycznych (klasyfikacja);

 

             I.      Ze względu na wartości poznawcze modelu:

1. Modele przyczynowo – skutkowe; tzn., że między zmienną objaśnianą a zmiennymi objaśniającymi zachodzi związek przyczynowo – skutkowy. (Inaczej zmienne objaśniające określają przyczyny determinujące poziom kształtowania się zmiennej endogenicznej, która spełnia rolę skutku).

2. Modele symptomatyczne; tzn., że rolę zmiennych objaśniających pełnią zmienne silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą.

3. Modele autoregresyjne; role zmiennych objaśniających pełni opóźniona zmienna objaśniająca.

                        Np.:

                                  

                                   (opóźnione o 1 lub 2 okresy)

4. Modele tendencji rozwojowej; opisują one rozwój zjawisk w czasie, a rolę zmiennej objaśniającej pełni zmienna czasowa.

                        Np.:

                                  

                                   (wykładniczy model trendu)

                        e — podstawa logarytmu naturalnego             

                         — składnik losowy

 

 

          II.      Ze względu na postać analityczną (funkcji):

Będziemy rozróżniać modele liniowe, których zmienna objaśniana jest liniową (funkcją zmiennych objaśniających i składnika losowego) i modele nieliniowe (modele nieliniowe sprowadzalne lub dające się sprowadzić do postaci liniowej i takie, które nie dają się sprowadzić do postaci liniowej).

 

       III.      Ze względu na rodzaj danych statystycznych zużytych do budowy modelu będziemy wyróżniać:

1.Modele statyczne; dotyczą zbioru obiektów ekonomicznych w ustalonej jednostce czasu (oparte na danych przekrojowych).

2.Modele dynamiczne; modele oparte na szeregach czasowych.

 

        IV.      Ze względu na liczbę równań:

                        Rozważa się modele jednoliniowe i wieloliniowe.

 

 

Etapy budowy modelu ekonometrycznego.

 

1.      Określanie celu budowy modelu.

            Na tym etapie decydujemy o wyborze zmiennych endogenicznych (objaśnianych).

Np.: celem modelu może być prognozowanie sprzedaży w przedsiębiorstwie.

 

2.      Wybór zmiennych egzogenicznych modelu (objaśniających).

            Będziemy się kierować wiedzą i doświadczeniem w tym modelu. Metodami statystycznymi również będziemy kierować.

 

3.      Wybór postaci analitycznej czyli wybór funkcji.

 

                        Etapy 1÷3 noszą ogólną nazwę „specyfikacja modelu”

                        i wynikiem tej specyfikacji jest „hipoteza modelowa”.

 

4.      Zebranie materiału statystycznego (zebranie danych statystycznych):

a)   mogą to być dane pierwotnie zebrane specjalnie dla celu danego badania

      (badaniu rynku mają szczególne zastosowanie).

b)      dane wtórne czyli dane zebrane dla innych celów

 

5.      Estymacja parametrów modelu (w oparciu o dane).

 

6.      Weryfikacja modelu:

a)   ekonomiczna; która odpowiada na pytanie czy model ma sens ekonomiczny?

b)   statystyczna; liczymy w niej wskaźniki np.: determinacji .

 

7.      Praktyczne wykorzystanie modelu.

 

 

 

 

 

 

Cele budowy modelu (kierunek praktycznego wykorzystania modelu).

 

1.      Dla analizy prawidłowości zachodzących w przeszłości.

2.      Prognozowanie przyszłych wartości zmiennej objaśnianej.

3.      Symulacja (wariantowanie) czyli badania możliwych stanów interesującego nas fragmentu rzeczywistości za pomocą eksperymentowania na modelu.

 

Eksperymentowanie polega na obliczaniu wartości zmiennych endogenicznych (objaśnianych) przy różnych dopuszczalnych wartościach zmiennych egzogenicznych (objaśniających) lub różnych dopuszczalnych wartościach parametru.

 

Trzy postacie analityczne modelu:

 

            (1) Model liniowy.

                                  

 


                                               zmienne                stałe

            *— zmienna objaśniana,

            — zmienne objaśniające,

            — parametry strukturalne modelu,

            *— składnik losowy,

Interpretacja składników modeli liniowych.

                         — stała ( wyraz wolny) i nie posiada interpretacji ekonomicznej,

 — jeżeli wzrośnie o jednostkę to Y zmieni się z tego tytułu (wzrośnie lub spadnie) o  jednostek przy pozostałych czynnikach niezmienionych.

            (2) Model potęgowy.

Da się sprowadzić do postaci liniowej poprzez logarytmowanie.

                        itd.                  

Interpretacja składników modeli liniowych.

                         — nie interpretujemy,

 — jeżeli X1 wzrośnie o jeden procent to Y zmieni się z tego tytułu o  procent przy pozostałych czynnikach niezmienionych.

            (3) Model wykładniczy.

Model wykładniczy da się sprowadzić do postaci liniowej poprzez logarytmowanie (WAŻNE! trzeba umieć).

                         — nie interpretujemy,

 — jeżeli X1 wzrośnie o jeden procent to Y zmieni się z tego tytułu o  przy pozostałych czynnikach niezmienionych.

 

Dobór zmiennych objaśniających do modelu ekonometrycznego.

 

1.      Metody a priori

2.      Metody a posteriori

 

            Istota metod a priori polega na tym, że do modelu powinny wejść zmienne objaśniające będące przyczynami bezpośrednimi zmiennej objaśnianej (endogenicznej) lub wobec braku możliwości określenia przyczyn zmiennej jak najsilniej skorelowanej ze zmienną objaśnianą. Jednocześnie zmienne objaśniające (egzogeniczne) powinny być nieskorelowane między sobą. Pobór zmiennych poprzedza estymację parametrów modelu.

 

             — współczynnik korelacji zmiennej objaśnianej Y z jej zmienną objaśniającą j.

 

             — współczynnik korelacji między zmiennymi objaśniającymi j i k.

            Zakłada się, że;

           

           

 

Metoda wskaźników pojemności informacyjnej (metoda Hellwiga).

 

            Liczba kombinacji.

           

gdzie:

            m — liczba potencjalnych zmiennych objaśniających.

 

Współczynnik indywidualnej pojemności informatycznej.

gdzie:

             — indywidualna pojemność j-tej zmiennej kombinacji,

            * — numer zmiennych należących do I-tej kombinacji,

             — współczynnik korelacji zmiennej objaśnianej z j-tą zmienną objaśniającą,

 — współczynnik korelacji j-tej i k-tej zmiennej objaśniającej występujących w kombinacji.

 

Współczynnik integralnej pojemności informacyjnej.

kryterium wyboru max Hl        

 

            Metody a posteriori polegają na tym, że doboru zmiennych dokonuje się po estymacji modelu (estymacja parametrów modelu ekonometrycznego za pomocą klasycznej metody najmniejszych kwadratów).

 

Hipoteza modelowa, która jest wynikiem specyfikacji modelu ekonometrycznego, ma postać:

            * — zmienna objaśniana,

             — zmienne objaśniające,

             — parametry strukturalne modelu,

            * — składnik losowy,

 

Model empiryczny.

             — obserwacje na zmiennej objaśnianej,

             — obserwacje na zmiennych objaśniających,

             — oceny parametrów strukturalnych modelu,

            * 

gdzie:

            j = 0, 1, 2, ...k

 

Zapis macierzowy.

gdzie:

                     

            y — jest to wektor obserwacji na zmiennej objaśnianej o wymiarach n na 1 / yn•1 /,

x — jest to macierz obserwacji na zmiennych objaśniających o wymiarach n na k+1    / xn•(k+1) /,

            a — wektor ocen parametru o wymiarach k+1 na 1 / a(k+1)•1 /,

            e — wektor reszt o wymiarach n na 1 / en•1 /,

Estymator KMNK

(klasyczna metoda najmniejszych kwadratów)

 

            Założenia KMNK (klasyczny model regresji liniowej):

1.      Liniowa postać modelu (lub sprowadzalna do liniowej)

2.     

3.     

4.      Zmienne objaśniające są nielosowe

5.     

6.     

 

Ad.2.

            Oznacza to, że wartość oczekiwana (średnia) składnika losowego jest równa 0.

Ad.3.

            I — macierz jednostkowa

            σ — wariancja

            Otrzymujemy macierz wariancji i kowariancji składnika losowego i oznacza ona tyle, że wariancja składnika losowego jest stała i równa σ2, natomiast kowariancje są zerowe (czysty składnik losowy).

 

Ad.4.

UWAGA!

Urealnienie założenia 4. Zmienne objaśniające są losowe, ale spełniają warunek .

Oznacza to, że zmienne objaśniające są nieskorelowane ze składnikiem losowym.

 

Ad.5.

            Wielkość próby, która jest większa niż liczba szacowanych parametrów.

Ad.6.

            Rząd macierzy X=k+1 co oznacza, że żadna spośród zmiennych objaśniających  nie jest współliniowa z inną zmienną.

 

Oznaczenia;

Wartość teoretyczna

Wektor wartości teoretycznej

Reszta modelu

Wektor reszt

WAŻNE!

 
Istota KMNK.

 

            Aby wszystkie różnice pomiędzy wartościami  teoretycznymi a wartościami zaobserwowanymi były jak najmniejsze.

 

Z założenia  wynika, że

Kryterium minimalizacji.

 

 

Wszystkie elementy są 1 na 1.

 

Badamy ekstremum powyższej funkcji.

Szukane:

            a — wektor ocen parametrów

 

 

 

BARDZO WAŻNE!

 
 


Estymator KMNK

 

 

 

 

Badamy czy otrzymane ekstremum to minimum funkcji Ψ.

Powyższa macierz jest zawsze dodatnio określana, zatem znalezione ekstremum to minimum.

 

            Macierz będzie dodatnio określona, jeżeli wszystkie podwyznaczniki główne tej macierzy są >0.

                     

 

Estymator KMNK jest:

1.      Zgodny,

2.      Nieobciążony,

3.      Najbardziej efektywny.

 

Ad.1.

            Estymator jest zgodny wtedy, wraz ze wzrostem liczby obserwacji wzrasta dokładność oszacowania.

 

Ad.2.

            Estymator jest nieobciążony wtedy, gdy wartość oczekiwana estymatora jest równa prawdziwej wartości szacowanego parametru.

Ad.3.

            Efektywność estymatora, kiedy posiada najmniejszą wariancję.