Powrót - ekonometria

Ekonometria bada związki o charakterze ilościowym występujące pomiędzy elementami zjawisk ekonomicznych za pomocą metod statystycznych i matematycznych.

Ekonometrię można stosować wtedy, gdy:

· badane zjawisko ekonomiczne musi być stabilne, tj. ulegać jedynie niewielkim i powolnym zmianom,

· zjawisko musi być mierzalne, tj. jego cechy muszą być wyrażane liczbowo,

· można określić czynniki wpływające na jego zachowanie,

· dostępne są dane statystyczne opisujące zachowanie (w sensie ilościowym) badanego systemu w przeszłości.

Podstawowym narzędziem wykorzystywanym w analizie ekonometrycznej jest model ekonometryczny.

Model to konstrukcja teoretyczna, która podlega analizie w miejsce rzeczywistego zjawiska, pozwalając na lepsze zrozumienie jego charakteru. Jest ona zawsze znacznie uproszczonym obrazem obserwowanego zjawiska (np. model samolotu, model spirali DNA) pozwala jednak na prowadzenie eksperymentów.

Model ekonometryczny

to formalna konstrukcja, która za pomocą jednego lub kilku równań przedstawia powiązania występujące pomiędzy elementami zjawiska ekonomicznego.

Jest to model matematyczny, który został „dopasowany” do rzeczywistości za pomocą metod statystycznych.

Modele matematyczne są:

· zwięzłe,

· jednoznaczne,

· precyzyjne,

· mają logiczną strukturę,

· łatwe do wykorzystania przy użyciu komputerów.

Podział modeli ekonometrycznych

- ze względu na uwzględnienie powiązań zachodzących jednocześnie lub w kolejnych okresach czasu:

· statyczne,

· dynamiczne.

- ze względu na ilość równań:

· jednorównaniowe,

· wielorównaniowe.

- ze względu na postać funkcji opisującej charakter wpływu zmiennych X na zmienne Y:

· liniowe,

· nieliniowe.

Przykłady modeli ekonometrycznych

Liniowy (jednorównaniowy):

C = a + bY

gdzie: C – konsumpcja

Y – dochód narodowy

a, b - parametry modelu

Liniowy (wielorównaniowy):

C = a + bY

Y = C + I + G

gdzie: I – inwestycje

G – wydatki budżetowe

Nieliniowy:

I = a₀ + a₁R + a₂R² + a₃Y + a₄Y²

gdzie: R – stopa procentowa

Dynamiczny:

C_t = a₀ + a₁Y_t-1

I_t = b₀ + b₁(Y_t-1 - Y_t-2)

Y_t = C_t + I_t + G_t

gdzie: „t”, „t-1”, „t-2” oznaczają kolejne okresy czasu.

Budowa modelu ekonometrycznego

y = f(x₁ ,x₂ , ..., x_n) + u

np. model liniowy:

y = a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n + u

gdzie:

y - zmienna objaśniana (endogeniczna)

x₁ ,x₂ , ..., x_n - zmienne objaśniające (egzogeniczne)

a₁, a₂, ..., a_n - parametry strukturalne modelu

u - składnik losowy

Na podstawie danych statystycznych opisujących zachowanie systemu w przeszłości parametry modelu są szacowane (estymowane) za pomocą metody najmniejszych kwadratów (MNK), np.

C = 3,45 + 8,52Y + u

Oznacza to dopasowanie modelu do rzeczywistości.

Parametry strukturalne modelu wyrażają ilościowy wpływ danej zmiennej (przy której stoją) na zmienną objaśnianą.

Składnik losowy uwzględnia:

· wpływ innych zmiennych niż te, które są już w modelu,

· różnice między modelem a rzeczywistością,

· błędy pomiaru zmiennych,

· działanie czynników losowych.

Etapy budowy modelu ekonometrycznego

1. specyfikacja modelu – określenie zmiennych objaśnianych i objaśniających, postaci analitycznej modelu oraz źródeł danych statystycznych,

2. estymacja parametrów modelu – na podstawie zgromadzonych danych za pomocą MNK,

3. weryfikacja modelu – określenie, czy wyniki są zgodne z teorią ekonomiczną oraz statystyką,

4. wykorzystanie modelu – do symulacji i tworzenia prognoz.

Specyfikacja modelu

I. Dobór zmiennych objaśniających

Zmienne muszą:

· mieć wysoką zmienność, tj. współczynnik zmienności

w przeciwnym wypadku są to zmienne quasi-stałe

· być silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą,

· nie być skorelowane ze sobą.

Zmienne spełniające oba warunki można wybrać stosując metodę formalną, tzw. metodę Hellwiga.

Obliczamy macierz współczynników korelacji pomiędzy zmiennymi objaśniającymi:

oraz wektor:

współczynników korelacji zmiennych objaśniających ze zmienną objaśnianą.

Rozważa się wszystkie możliwe kombinacje zmiennych objaśniających, których jest:

Dla każdej kombinacji oblicza się indywidualny wskaźnik pojemności informacyjnej:

gdzie l = 1 ,..., L,

j = 1 ,..., m_l,

m_l – liczba zmiennych w kombinacji

Integralne wskaźniki pojemności całych kombinacji:

Wybierana jest ta kombinacja zmiennych, dla której H jest największe:

Przykład:

Zmienne x1, x2, x3, x4.

Macierz korelacji i wektor:

Kombinacje zmiennych:

1:{x1} 5:{x1,x2} 10:{x3,x4} 15:{x1,x2,x3,x4}

2:{x2} 6:{x1,x3} 11:{x1,x2,x3}

3:{x3} 7:{x1,x4} 12:{x1,x2,x4}

4:{x4} 8:{x2,x3} 13:{x1,x3,x4}

9:{x2,x4} 14:{x2,x3,x4}

Dla np. kombinacji nr 5 liczymy:

oraz:

Okazuje się, że maksymalna wartość pojemności występuje dla kombinacji nr 9, tj. {x2,x4} i wynosi 0,668.

Problem: zmienne jakościowe, np. branża, wykształcenie, posiadanie bazy transportowej itp.

Wtedy zamieniamy te zmienne na zero-jedynkowe i wstawiamy je do modelu. Na przykład:

· zmienna „wykształcenie pracownika” (podstawowe, średnie, wyższe)

Zamieniamy ją na 2 zmienne zero-jedynkowe:

z1=0 gdy podstawowe,

z1=1 gdy średnie lub wyższe,

z2=0 gdy podstawowe lub średnie,

z2=1 gdy wyższe.

Sprawia trudności jednak interpretacja parametrów przy takich zmiennych.

II. Wybór postaci analitycznej modelu

Kiedy jest jedna zmienna objaśniająca – wykres rozrzutu.

W innym wypadku – teoria ekonomii, literatura, praktyka i doświadczenie.

Estymacja parametrów modelu ekonometrycznego

Parametry modelu

Y = aX + b

można oszacować na podstawie danych statystycznych opisujących zachowanie modelowanego zjawiska w przeszłości.

Do tego celu stosowana jest metoda najmniejszych kwadratów polegająca na minimalizacji

(Y-aX)^T(Y-aX) ®min

Rozwiązaniem jest macierz parametrów:

a = (X^TX)^-1X^TY

Opisują one siłę oraz kierunek wpływu zmiennych objaśniających (X) na zmienną objaśnianą (Y).

Weryfikacja modelu

Po oszacowaniu parametrów należy sprawdzić, czy model jest dobry, tj.

· jest zgodny z rzeczywistością,

· jest precyzyjny,

· zmienne objaśniające (X) istotnie wpływają na zmienną objaśnianą (Y).

Do oceny dopasowania modelu do rzeczywistych danych wykorzystuje się:

· wariancję resztową:

lub w zapisie macierzowym:

gdzie „reszta” oznacza różnicę między wartością empiryczną y_i a teoretyczną y_i^*.

· współczynnik zbieżności:

· współczynnik determinacji:

R² = 1 - f²

Współczynnik determinacji przyjmuje wartości z przedziału [0,1] i informuje jaka część zmian zmiennej objaśnianej Y została wyjaśniona przez model.

Na przykład R² = 0,7 oznacza, iż model w 70% wyjaśnia zmiany zmiennej Y.

Istotność parametrów

Wektor parametrów modelu:

a = (X^TX)^-1X^TY

ma macierz wariancji i kowariancji równą:

D²(a) = S²(u)(X^TX)^-1

Na głównej przekątnej znajdują się wariancje parametrów modelu:

D²(a_i)

Wtedy błąd szacunku parametru a_i jest równy:

D(a_i)

Istotność statystyczną parametrów mierzymy za pomocą sprawdzianu:

gdzie „t” ma rozkład Studenta o n-k stopniach swobody.

Z tablic rozkładu t-Studenta znajdujemy wartość krytyczną t_a dla zadanego poziomu istotności a.

Zwykle jest to a=0,05.

Jeżeli zachodzi nierówność:

to oznacza, że zmienna x_i (przy której stoi parametr a_i) istotnie wpływa na zmienną objaśnianą (y).

W przeciwnym wypadku zmienna ta jest zbędna i należy ją usunąć z modelu.

Dane

y - cena akcji (zł)

x₁ - obroty (mln zł)

x₂ - liczba zatrudnionych (w setkach osób)

y	x1	x2
10	0,6	10
9	0,5	8
11	0,9	8
13	1,1	9
12	1,0	8
15	1,2	7
14	0,9	5
16	1,3	4
17	1,5	4

Należy oszacować parametry strukturalne modelu ekonometrycznego:

y = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ + u

Za pomocą metody najmniejszych kwadratów wektor parametrów liczymy jako:

a = (X^TX)^-1X^TY

Można zastosować skrócone obliczenia:

oraz:

Zatem potrzebne są obliczenia pomocnicze:

y	x1	x2	x1 x2	x^21	x^22	y x1	y x2	y^2
10	0,6	10	6,0	0,36	100	6,0	100	100
9	0,5	8	4,0	0,25	64	4,5	72	81
11	0,9	8	7,2	0,81	64	9,9	88	121
13	1,1	9	9,9	1,21	81	14,3	117	169
12	1,0	8	8,0	1,00	64	12,0	96	144
15	1,2	7	8,4	1,44	49	18,0	105	225
14	0,9	5	4,5	0,81	25	12,6	70	196
16	1,3	4	5,2	1,69	16	20,8	64