Powrót - ekonometria

Metody prognozowania, czyli takie metody, które służą do wnioskowania o przyszłości na ogół na podstawie prawidłowości zaobserwowanych w przeszłości.

Metody prognozowania

Metody matematyczno-statystyczne Metody nie matematyczne

Metody bazujące Metody bazujące metody ankietowe

na modelach na modelach metody ekspertyz

deterministycznych ekonometrycznych metody intuicyjne

metody heurystyczne

metody analogowe

modele jednorównaniowe modele wielorównaniowe

modele opisowe modele proste

modele trendu modele rekurencyjne

modele sezonowości modele o równaniach

modele autoregresji współzależnych

(tzw. modele struktury)

modele arima

modele adaptacyjne

modele przyczynowo - skutkowe

modele zgodne

Aby prognozować należy dysponować modelem o charakterze dynamicznym, czyli takim modelem, który opisuje zależności procesów ekonomicznych w czasie.

Y_t = α₁x_1t + α₂x_2t + α₀ + η_t

Y_t = α₁x_1t + α₂t + α₀ + η_t

Y - zmienna losowa

y_i - realizacje zmiennej losowej w konkretnej próbie

Uogólnieniem zmiennej losowej jest pojęcie procesu stochastycznego. Proces stochastyczny jest to losowa funkcja nielosowego argumentu t; jest to ciąg zmiennych losowych w kolejnych momentach czasu.

Przykład procesu stochastycznego: produkcja przemysłowa w pewnym kraju w kolejnych latach; stopa bezrobocia w kolejnych miesiącach; inflacja w kolejnych miesiącach; notowania kursów walutowych, akcji na kolejnych sesjach giełdowych (w kolejnych dniach).

Proces stochastyczny nie ma początku ani końca.

Y_t = .............., Y₁, Y₂, .................

Realizacją procesu stochastycznego jest szereg czasowy, czyli zbiór par {y_t; t} takich, że kolejnym wartościom t zostały przyporządkowane odpowiadające im wartości y_t.

Przykład szeregu: zaobserwowane wartości produkcji przemysłowej w latach 1990-2000 w Polsce; zaobserwowane wartości stopy bezrobocia w Polsce w latach 1995-1999 w miesiącach; zaobserwowane wartości inflacji (wskaźnik cen dóbr i usług konsumpcyjnych) w latach 1995-1999 w miesiącach; notowania kursów walutowych w Polsce na sesjach roku 2000.

y_t przeszłość przyszłość

t

1 n n+1, n+2, ......, n+h

Do opisów stosuje się charakterystyki procesu stochastycznego. Charakterystyki:

· wartość średnia procesu

E(Y_t) = m_t

· wariancja procesu

D²(Y_t) = E(Y_t - m_t)²

· funkcja kowariancyjna

k(t,s) = k(τ) = E[(Y_t - m_t) (Y_s - m_s)]

t,s - kolejne momenty

τ = t - s

· funkcja autokorelacji

D²(Y_t) = k(0)

· funkcja gęstości spektralnej

informuje jakie składniki mają największy udział w wariancji procesu.

Znając charakterystyki można dokonać podziału procesów na: procesy stacjonarne i procesy niestacjonarne.

Procesy są stacjonarne jeżeli spełniają warunki:

· wartość oczekiwana jest stała

E(Y_t) = m_t = const

· wariancja procesu jest stała i skończona

D²(Y_t) = V² ∙ const

· funkcja kowariancyjna

K(τ) = E(Y_t - m_t)(Y_s - m_s) → zależy tylko od odstępu τ = t-s

Dla t = s - mamy wariancję

Dla t ≠ s - mamy funkcję kowariancyjną (wyraża zależność okresu dla różnego odstępu)

Nie jest funkcją czasu ale odstępu

y_t

→ stała wartość średnia

t

y_t

→ zmienna wartość średniej

t

y_t

→ odchylenia stałe

t

proces o stałej średniej proces o niestałej średniej

i stałej wariancji i stałej wariancji

proces o stałej średniej proces o niestałej średniej

i niestałej wariancji i niestałej wariancji

Z procesami niestacjonarnymi mamy do czynienia wtedy, gdy co najmniej jeden z tych warunków (stacjonarności) jest nie spełniony. W związku z tym można mówić o trzech typach niestacjonarności:

· w średniej procesu

· w wariancji procesu

· w funkcji kowariancyjnej procesu (wariancji i średniej).

PROGNOZOWANIE NA PODSTAWIE MODELU EKONOMETRYCZNEGO

Żeby móc prognozować trzeba zbudować model ekonometryczny. Mamy pięć etapów budowy modelu:

· specyfikacja modelu, który obejmuje określenie zmiennych objaśnianych i objaśniających oraz postaci analitycznej modelu (model liniowy o nieliniowy);

· zbieranie informacji statystycznych;

· estymacja modelu, czyli szacowanie parametrów modelu ekonometrycznego;

· weryfikacja modelu;

· wykorzystanie modelu do prognozowania

- musi mieć istotne parametry;

- musi mieć odpowiednio wysoki stopień dopasowania modelu (dopasowanie modelu do danych empirycznych);

- nie występuje autokorelacja składnika losowego, a wariancja jest stała;

- parametry modelu mają sezonową interpretację ekonomiczną.

Podstawowe założenia teorii predykcji:

· znany jest oszacowany model ekonometryczny wyjaśniający kształtowanie się zmiennej, dla której budujemy prognozę;

· struktura opisywanych przez model zjawisk jest stabilna w czasie (nie zmienia się postać analityczna modelu, nie występują zmiany parametrów strukturalnych modelu oraz struktura powiązań przyczynowych jest stała w czasie → nie zmieni się zestaw przyczyn);

· znane są wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym;

· rozkład składnika losowego nie ulega zmianom w czasie (jest stały);

· dopuszczalna jest ekstrapolacja modelu poza obszar zmienności zmiennych objaśniających obserwowanych w próbie

`x ± S(x) - obszar zmienności

jeżeli zmienne objaśniające przekraczają ten obszar to mamy do czynienia z modelem trendu.

Zasady predykcji jest to reguła pozwalająca na wyznaczenie najlepszego w danych warunkach przybliżenia przyszłej realizacji zmiennej prognozowanej. Zasada predykcji określa sposób postępowania do budowy prognozy na podstawie modelu ekonometrycznego. Mamy dwie zasady predykcji: zasadę predykcji nieobciążonej oraz zasadę predykcji według największego prawdopodobieństwa.

Zasada predykcji nieobciążone polega na tym, że prognozę wyznacza się na poziomie wartości oczekiwanej zmiennej prognozowanej w okresie prognozowanym T.

t - dotyczy okresu próby

T - dotyczy okresu poza próbą (T = n+1, n+2, ..., n+h)

E(η_T) = 0

Tę zasadę stosuje się gdy proces predykcji jest powtarzalny, ponieważ wtedy popełniane błędy dodatnie i ujemne równoważą się tak, że proces predykcji ani nie zawyża ani nie zaniża przyszłych realizacji zmiennej prognozowanej.

Zasada predykcji według największego prawdopodobieństwa polega na wyznaczeniu prognozy na poziomie równym modalnej (dominancie) rozkładu zmiennej prognozowanej.

y_Tp = M_T(Y)

Trzeba znać rozkład zmiennej prognozowanej i wtedy, gdy mamy do czynienia ze zmienna skokową to prognozą jest taka wartość zmiennej, której odpowiada największe prawdopodobieństwo realizacji w okresie T. Jeżeli zmienna jest ciągła to prognoza jest taka wartość zmiennej, której odpowiada maksimum funkcji gęstości prawdopodobieństwa.

Obie zasady dają te same wyniki (prognozy), gdy rozkład zmiennej prognozowanej jest co najmniej symetryczny.

Niezależnie od zasady, którą przyjmiemy można mówić o dwóch rodzajach predykcji:

· punktowej

Polega na wyznaczeniu konkretnej wartości prognozy.

· przedziałowej

Polega na wyznaczeniu pewnego przedziału liczbowego, któremu można przypisać odpowiednio wysokie prawdopodobieństwo, że rzeczywista realizacja zmiennej prognozowanej znajdzie się w tym przedziale.

P{y_Tp Î I_p} = 1 - α

Aby wyznaczyć prognozę przedziałową trzeba znać rozkład zmiennej prognozowanej. Czyni się założenie, że rozkład zmiennej prognozowanej jest normalny.

W przypadku predykcji przedziałowej bierze się pod uwagę dwie rzeczy:

· z góry przyjęte prawdopodobieństwo 1-α

· długość przedziału liczbowego I_p.

Zależność między długością przedziału a wysokością prawdopodobieństwa jest odwrotna. Sytuację najbardziej korzystną mamy wtedy, gdy dla ustalonej długości przedziału mamy wyższe prawdopodobieństwo 1-α lub dla ustalonego prawdopodobieństwa 1-α przedział I_p jest krótszy.

Mierniki dokładności predykcji:

· ex ante

Mierniki ex ante to mierniki, które podają spodziewany rząd odchyleń rzeczywistych realizacji zmiennej prognozowanej od prognoz; mierniki te oblicza się przed realizacją.

· ex post

Mierniki ex post podają wielkość rzeczywistego odchylenia wartości zmiennych prognozowanych od prognoz; mierniki te oblicza się po zrealizowaniu.

Estymacja Predykcja

populacja generalna → parametr α populacja generalna→zmienna prognozowana Y_T

↓ ↓

próba → estymator próba → predyktor y_Tp (wzór na obliczenie przybliżenia zmiennej prognozowanej w przyszłym okresie)

↓ ↓

ocena parametru prognoza ŷ_Tp

Jeżeli prognoza jest liczona na poziomie wartości zmiennej prognozowanej to mamy tzw. predyktor (pewien wzór na wyznaczenie prognozy). Predyktor Φ_T[ƒ(y_t; x_j; η)] określony w przestrzeni wszystkich modeli ekonometrycznych wyjaśniających kształtowanie się zmiennej prognozowanej.

Błąd predyktora jest zmienną losową

D = Y_T = y_Tp

Można mówić o momentach:

· zwykłych (średnia)

E(D) = E(Y_t - y_Tp) = E[Y_T - E(Y_T)] = 0

Jeżeli mamy do czynienia z tzw. predykcją nieobciążoną.

Jeżeli E(D) ≠ 0 to mówimy o obciążeniu predykcji.

· centralnych (wariancja)

var (D) = E(Y_T - y_Tp)² = E[Y_T - E(Y_T)]²

D²(a_i) - wariancja estymatorów modelu stanowiącego podstawę prognozowania

cov(a_i, a_j) - kowariancje estymatorów modelu stanowiącego podstawę prognozowania

x_iT, x_jT - wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym

σ_T² - wariancja składnika losowego

σ_T² ≈ S²(u)

Wartość wariancji predykcji zależy od trzech wartości:

· wariancji i kowariancji estymatorów parametrów strukturalnych modelu prognostycznego;

· wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym;

· wariancji składnika losowego.

X_T - wektor wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym; postać zależy od hipotezy modelowej

V_T - średni błąd predykcji ex ante

Interpretacja: W długim ciągu prognoz wartości realizacji zmiennej prognozowanej będą się różniły od prognoz średnio o ± V_T.

Dopuszczalność prognoz

Średni błąd predykcji jest miarą bezwzględną mianowaną, z tego też względu trudno jest ocenić rząd wielkości tego błędu. Dlatego oblicza się względny błąd predykcji ex ante

(wyrażony w %)

Interpretacja: Średni błąd predykcji (V_T) stanowi określony procent prognozy.

Aby ocenić dopuszczalność porównujemy V_T^* i V_T

Prognoza będzie dopuszczalna jeżeli V_T^* ≤ V_g^* (5% - 10%)

Jeżeli V_T^* > V_g^* to prognoza jest niedopuszczalna

Miernik dokładności ex post, tzw. błąd prognozy (δ_T = y_T - y_Tp) to różnica między realizacją a prognozą. Jeżeli:

δ_T > 0 to prognoza była niedoszacowana

δ_T < 0 to prognoza była przeszacowana

Względny błąd ex post informuje jaki % realizacji stanowi błąd prognozy. Na podstawie tego błędu ocenia się tzw. trafność prognozy. Jeżeli:

(5% - 10%) → prognozy są trafne

→ prognozy są nietrafne (przekroczyły dopuszczalny próg)

Na podstawie błędów ex ante można obliczyć średni błąd prognozy dla ciągu wyznaczonych prognoz (całego prognozowanego okresu)

Interpretacja: Błąd ten mierzy o ile średnio odchylają się realizacje zmiennej prognozowanej od ich prognoz.

PROGNOZOWANIE NA PODSTAWIE MODELI TRENDU

Składnikowe ujęcie procesu stochastycznego

Y_t = P_t +S_t + η_t

P_t - składnik trendu (trendowy); opisuje zasadniczy kierunek rozwoju zjawiska w czasie;

S_t - składnik sezonowy (wahania sezonowe); są to bardziej lub mniej regularne wahania powtarzające się w kolejnych okresach kalendarzowych; są to wahania o cyklu rocznym (np. skup warzyw, owoców, liczba turystów);

η_t - wahania przypadkowe (nieregularne)

P_t można opisać za pomocą wielomianowej funkcji zmiennej czasowej t.

r - stopień wielomianu trendu

r = 0 → P_t = α₀

r = 1 → trend liniowy P_t = α₀ + α₁t

r = 2 → trend kwadratowy P_t = α₀ + α₁t + α₂t²

r = 3 → trend trzeciego stopnia P_t = α₀ + α₁t + α₂t² + α₃t³ itd.

Badanie stopnia wielomiany trendu

Badanie stopnia wielomiany trendu posiada strukturę iteracyjną.

Krok 1 Szacuje się model trendu liniowego

Y_t = α₀ + α₁t + η_t

y_t = a₀ + a₁t + u_t

↓

H₀: α₁ = 0

H₁: α₁ ≠ 0

t₁ > t^* - nie ma podstaw do odrzucenia H₀ t₁ ≤ t^* - odrzucimy H₀ - parametr jest

- parametr jest nieistotny, czyli nie ma istotny, czyli istnieje trend co najmniej dla trendu - koniec postępowania r = 1 - przechodzimy do kroku 2

Krok 2 Szacuje się model trendu kwadratowego

Y_t = α₀ + α₁t + α₂t² + η_t

y_t = a₀ + a₁t + a₂t² + u_t