Powrót - ekonometria

 

                       

 

                   

 

 

 

 

 

 

            Dopasowanie modelu do danych empirycznych na przykładzie modelu badania wpływu metrażu mieszkania na jego cenę

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Spis treści

 

1              Problematyka badanego zjawiska

1.1           Przedstawienie celu badania

1.2           Merytoryczny opis rynku nieruchomości

2              Charakterystyka zbioru danych

2.1           Wybór zmiennych do modelu

·        Analiza zmiennych objaśniających

·        Redukcja zmiennych i ich dobór do modelu

2.2           Budowa modelu

·        Wybór postaci analitycznej

·        Szacowanie parametrów modelu

3                   Weryfikacja modelu

·        Odchylenie standardowe reszt

·        Analiza współczynnika zmienności losowej

·        Analiza współczynnika determinacji R2

·        Analiza współczynnika zbieżności

·        Analiza współczynnika korelacji wielorakiej R

4                   Podsumowanie przeprowadzonych badań

5                   Literatura

 


1       PROBLEMATYKA BADANEGO ZJAWISKA

1.1       Przedstawienie celu badania

Wiele tysięcy lat temu ludzie nie mieli dużych wymagań związanych z miejscem przeznaczonym do mieszkania. Wystarczyło im suche, ciepłe miejsce, zapewniające im bezpieczeństwo. I to był ich dom... Jednak obecnie samo słowo „dom” oznacza coś innego. Jest nie tylko miejscem naszego azylu i schronienia przed otaczającym nas światem, ale i rzeczą, stanowiącą dla nas jakąś wartość pieniężną, która jest także przedmiotem transakcji handlowych. Wartość tych nieruchomości jest uzależniona od wielu czynników zarówno ekonomicznych, jak również poza ekonomicznych. Potencjalnego nabywcę zazwyczaj interesują te drugie. Z tego powodu w swoich badaniach posłużę się czynnikami nieekonomicznymi, jakie mają wpływ na wartość mieszkań, będących przedmiotem transakcji kupna – sprzedaży na rzeszowskim rynku nieruchomości.

Wśród czynników, które mogą wpływać na cenę mieszkania, wyróżniłam między innymi: lokalizację mieszkania, jego metraż, dodatkowe wyposażenie, piętro, na jakim jest usytuowane, liczbę pokoi oraz agencję oferującą daną nieruchomość. Za cel swojego badania obrałam odpowiedź na następujące pytanie: „Czy i w jakim stopniu wybrane przeze mnie zmienne wpływają na wartość mieszkania?”

Wybrane przeze mnie cechy mieszkania są zmiennymi endogenicznymi, ponieważ dotyczą wewnętrznych warunków kształtowania się ceny. W swojej pracy nie będę poświęcać uwagi zmiennym egzogenicznym, takim jak: stopa inflacji, poziom dochodów ludności i innych warunków ekonomicznych, ponieważ nie są one w dużym stopniu uwarunkowane ciągłymi zmianami rynku oraz przepisów prawno - handlowych. Te zmienne są trudne do scharakteryzowania, bowiem w naszych polskich warunkach przy wciąż rosnącej stopie inflacji, wartości dóbr i dochody ludności tracą swą realną wartość. I właśnie z tego powodu trudno jest prognozować poziom ceny w zależności od zmiennych egzogenicznych.

 

1.2       Merytoryczny opis rynku nieruchomości

Aby w pełnym świetle przedstawić istotę badanego problemu, niezbędne jest zapoznanie się z właściwościami rynku nieruchomości oraz z samym pojęciem „nieruchomość”.

W myśl art. 46 k.c., nieruchomościami są części powierzchni ziemskiej, stanowiące odrębny przedmiot własności (grunty), jak również budynki stałe z gruntem związane lub części takich budynków, jeżeli na mocy przepisów szczególnych stanowią odrębny od gruntu przedmiot własności. Polskie prawo wyróżnia -więc trzy rodzaje nieruchomości: gruntowe, budynkowe i lokalowe. Dla celu mojej pracy istotna jest definicja mieszkania jako rodzaju nieruchomości lokalowej.

Nieruchomość lokalowa” to według art. 2 ust.1 i 2 ustawy z czerwca 1994r. o własności lokali[1] - samodzielny lokal mieszkalny, a także samodzielny lokal wykorzystywany zgodnie z przeznaczeniem na cele inne niż mieszkalne, jeżeli stanowi odrębną własność. Samodzielnym lokalem mieszkalnym jest wydzielona trwałymi ścianami w obrębie budynku izba lub zespół izb przeznaczonych na stały pobyt ludzi, które wraz z pomieszczeniami pomocniczymi służą zaspokojeniu ich potrzeb mieszkaniowych.

Na cenę mieszkania wpływają w istotnym stopniu tylko jego cechy, ponieważ elastyczność cenowa popytu w przypadku nieruchomości nie jest duża, tzn. współczynnik elastyczności popytu, ilustrujący względną zmianę popytu do względnej zmiany ceny, jest mniejszy od jedności, co oznacza, że wzrost ceny o 10% wywoła spadek popytu mniejszy od 10%. Mała elastyczność wynika z braku substytutu oraz stałości w miejscu. Nie istnieje bowiem dobro substytucyjne dla nieruchomości. Mała elastyczność popytu stanowi źródło znacznych rozbieżności w stawkach czynszu dla zróżnicowanych lokalizacji. Charakter budynku i specyficzne wymogi dotyczące i wyposażenia, zużyte fizycznie i funkcjonalnie budynki nie mogą stanowić substytutu obiektów nowoczesnych. Relatywnie mały udział czynszu w kosztach całkowitych podmiotów gospodarczych i gospodarstw domowych również wpływa na elastyczność cenową popytu nieruchomości. [2] Z tych względów zajęłam się zmiennymi endogenicznymi.

Na rzeszowskim rynku nieruchomości istnieje wiele firm zajmujących się pośrednictwem w obrocie mieszkaniowym. Spośród nich wybrałam dwie agencje zajmujące się handlem nieruchomości, które moim zdaniem posiadają najbardziej pełne informacje o oferowanych mieszkaniach, a mianowicie Filipak S.C. oraz Kwaśniak S.C. Na podstawie danych udostępnianych powszechnemu zainteresowaniu, wybrałam te dane, które według mojego uznanie będą najlepiej opisywały model badań. Aby ułatwić analizę funkcji modelu wprowadziłam pewne oznaczenia.

A mianowicie:

a)      zmienna objaśniana:

Y – CENA,

b)     zmienne objaśniające:

X1 – FIRMA,

X2 – METRAŻ,

X3 – POKOJE,

X4 – PIĘTRO,

X5 – LOKALIZACJA,

X6 – KOMFORT.

 

Uwaga: zmienna KOMFORT (X6) obrazuje dodatkowe wyposażenie mieszkania, tzn. parkiet, płytki, panele i inne.

 

 

2                   CHARAKTERYSTYKA ZBIORU DANYCH

2.1          Wybór zmiennych do modelu

 

Analiza zmiennych objaśniających

Wybór zmiennych do modelu, pierwszy etap procesu budowy modelu ekonometrycznego, odbywa się za pomocą metod statystycznych. Spośród wcześniej wytypowanych zmiennych objaśniających należy wybrać te, które w sposób najistotniejszy opisują zmienna objaśnianą. Zmienne objaśniające powinny być silnie skorelowane ze zmienną prognozowaną oraz niepowiązane ( lub powiązane, ale bardzo słabo) pomiędzy sobą. Mocne powiązanie zmiennych niezależnych ze zmienną zależną zapewnia bowiem dobre dopasowanie modelu do danych empirycznych.

Konstruowanie i weryfikację modelu rozpoczęłam od wyboru zmiennej cena, jako zmiennej zależnej. Natomiast czynniki wpływające na jej kształtowanie (powierzchnia mieszkania, lokalizacja, liczba pokoi, piętro, na którym znajduje się mieszkanie, wyposażenie oraz firma pośrednicząca w transakcji) przyjęłam jako zmienne niezależne.

Dane dotyczące obranego zbioru zmiennych przedstawia tabela 1.

 

 

 

            Tab. 1 Zbiorcza tabela zmiennych

n

Cena                   Y

Firma        X1

Metraż      X2

Pokoje        X3

Piętro       X4

Lokalizacja         X5

Komfort        X6

1

70000,00

Filipak

35,00

1

 

Centrum

Parkiet

2

63000,00

Filipak

31,00

1

8

Poza centrum

Panele

3

63000,00

Filipak

32,00

1

 

Poza centrum

Brak danych

4

63000,00

Filipak

32,00

1

3

Poza centrum

Płytki

5

71000,00

Filipak

37,00

2

3

Poza centrum

Parkiet

6

75000,00

Filipak

43,00

2

0

Poza centrum

Brak danych

7

82000,00

Filipak

48,00

2

0

Poza centrum

Brak danych

8

87000,00

Filipak

50,00

3

4

Poza centrum

Parkiet

9

83000,00

Filipak

53,00

2

4

Poza centrum

Płytki, parkiet

10

98000,00

Filipak

54,00

2

0

Poza centrum

Brak danych

11

105000,00

Filipak

54,00

2

8

Poza centrum

Komfort

12

105000,00

Filipak

60,00

3

1

Poza centrum

Płytki, parkiet

13

105000,00

Filipak

68,00

3

7

Poza centrum

Brak danych

14

150000,00

Filipak

88,00

4

1

Poza centrum

Panele

15

90000,00

Kwaśniak

48,00

2

0

Poza centrum

Płytki, parkiet

16

75000,00

Kwaśniak

49,00

1

2

Centrum

Parkiet

17

89000,00

Kwaśniak

49,00

2

3

Centrum

Płytki, parkiet

18

95000,00

Kwaśniak

50,00

3

5

Poza centrum

Płytki, parkiet

19

86000,00

Kwaśniak

50,00

3

4

Poza centrum

Płytki, parkiet

20

90000,00

Kwaśniak

50,00

3

4

Poza centrum

Płytki

21

110000,00

Kwaśniak

51,00

3

0

Poza centrum

Płytki, parkiet

22

95000,00

Kwaśniak

51,00

2

3

Poza centrum

Płytki

23

96000,00

Kwaśniak

52,00

2

9

Poza centrum

Płytki, panele

24

95000,00

Kwaśniak

52,60

3

5

Poza centrum

Płytki, parkiet

25

90000,00

Kwaśniak

53,00

2

9

Poza centrum

Płytki, parkiet

26

90000,00

Kwaśniak

53,00

2

0

Poza centrum

Brak danych

27

120000,00

Kwaśniak

53,00

2

3

Poza centrum

Komfort

28

95000,00

Kwaśniak

53,00

2

4

Poza centrum

Płytki

29

96000,00

Kwaśniak

53,00

3

8

Poza centrum

Brak danych

30

105000,00

Kwaśniak

53,00

2

1

Poza centrum

Brak danych

31

99000,00

Kwaśniak

53,00

2

0

Poza centrum

Płytki, parkiet

32

130000,00

Kwaśniak

53,20

2

0

Poza centrum

Panele

33

99000,00

Kwaśniak

53,40

3

7

Poza centrum

Płytki, parkiet

34

100000,00

Kwaśniak

54,00

2

9

Poza centrum

Brak danych

35

95000,00

Kwaśniak

54,00

2

7

Poza centrum

Płytki

36

99000,00

Kwaśniak

54,40

2

4

Poza centrum

Płytki, parkiet

37

110000,00

Kwaśniak

57,00

3

4

Centrum

Płytki, parkiet

38

92000,00

Kwaśniak

58,00

3

7

Poza centrum

Płytki, parkiet

39

110000,00

Kwaśniak

58,00

3

4

Poza centrum

Płytki, parkiet

40

98000,00

Kwaśniak

58,20

3

4

Poza centrum

Parkiet

41

115000,00

Kwaśniak

60,00

3

2

Centrum

Parkiet

42

185000,00

Kwaśniak

61,00

3

3

Poza centrum

Płytki

43

120000,00

Kwaśniak

61,00

3

4

Poza centrum

Płytki

44

150000,00

Kwaśniak

63,00

3

0

Poza centrum

Parkiet

45

120000,00

Kwaśniak

63,20

3

3

Poza centrum

Płytki, parkiet

46

115000,00

Kwaśniak

64,00

3

6

Poza centrum

Płytki, parkiet

47

99000,00

Kwaśniak

63,70

3

1

Poza centrum

Płytki, parkiet

48

115000,00

Kwaśniak

64,00

3

6

Centrum

Płytki, parkiet

49

120000,00

Kwaśniak

65,00

3

10

Poza centrum

Płytki, parkiet

50

127000,00

Kwaśniak

67,00

3

1

Poza centrum

Brak danych

51

157000,00

Kwaśniak

67,00

4

10

Poza centrum

Brak danych

52

119000,00

Kwaśniak

65,00

2

3

Poza centrum

Parkiet

53

125000,00

Kwaśniak

68,00

4

6

Poza centrum

Płytki, parkiet

54

115000,00

Kwaśniak

68,00

3

5

Poza centrum

Płytki, parkiet

55

115000,00

Kwaśniak

68,00

3

4

Poza centrum

Płytki, parkiet

56

115000,00

Kwaśniak

68,00

3

8

Poza centrum

Płytki, parkiet

57

100000,00

Kwaśniak

68,00

3

0

Centrum

Płytki, parkiet

58

117000,00

Kwaśniak

68,00

3

0

Poza centrum

Brak danych

59

99000,00

Kwaśniak

68,00

3

8

Poza centrum

Parkiet

60

110000,00

Kwaśniak

69,00

3

2

Poza centrum

Brak danych

61

97000,00

Kwaśniak

69,00

3

2

Poza centrum

Parkiet

62

119000,00

Kwaśniak

74,00

4

4

Poza centrum

Parkiet

63

118000,00

Kwaśniak

74,00

4

1

Poza centrum

Brak danych

64

140000,00

Kwaśniak

74,00

4

10

Poza centrum

Brak danych

65

52000,00

Kwaśniak

27,30

1

10

Poza centrum

Brak danych

66

49000,00

Kwaśniak

27,00

1

2

Poza centrum

Płytki, parkiet

67

68000,00

Kwaśniak

30,00

2

2

Poza centrum

Brak danych

68

62000,00

Kwaśniak

30,00

2

4

Poza centrum

Płytki, parkiet

69

62000,00

Kwaśniak

30,00

2

5

Poza centrum

Brak danych

70

65000,00

Kwaśniak

31,00

1

1

Centrum

Parkiet

71

70000,00

Kwaśniak

32,00

1

2

Poza centrum

Płytki, parkiet

72

73000,00

Kwaśniak

34,50

2

3

Poza centrum

Płytki, parkiet

73

70000,00

Kwaśniak

35,00

2

0

Centrum

Płytki

74

70000,00

Kwaśniak

35,00

2

0

Poza centrum

Płytki

75

73000,00

Kwaśniak

35,80

2

3

Poza centrum

Płytki, parkiet

76

70000,00

Kwaśniak

36,60

2

6

Centrum

Brak danych

77

77000,00

Kwaśniak

38,00

2

3

Poza centrum

Płytki

78

74000,00

Kwaśniak

39,00

2

2

Centrum

Płytki, parkiet

79

82000,00

Kwaśniak

43,00

2

0

Poza centrum

Płytki, parkiet

80

86000,00

Kwaśniak

43,00

2

4

Poza centrum

Brak danych

81

89000,00

Kwaśniak

46,00

2

8

Centrum

Płytki, parkiet

82

90000,00

Kwaśniak

48,00

2

1

Centrum

Płytki, parkiet

83

100000,00

Kwaśniak

48,00

2

1

Centrum

Parkiet

84

88000,00

Kwaśniak

48,00

2

2

Poza centrum

Płytki, parkiet

85

85000,00

Kwaśniak

48,00

3

4

Poza centrum

Płytki, parkiet

86

95000,00

Kwaśniak

48,00

3

4

Poza centrum

Płytki, parkiet

 

            Źródło: opracowanie własne

 

Warunkiem wstępnym uznania różnych wielkości za zmienne objaśniające modelu jest dostatecznie wysoka zmienność. Miarą poziomu zmienności jest współczynnik zmienności:

                                                                   Vi = ,                                                                  

gdzie  - średnia arytmetyczna zmiennej Xi:

 

                                                                = ,                                                               

 

natomiast Sei – odchylenie standardowe zmiennej Xi:

 

                                                      Sei = .                                                     

 

Obiera się krytyczną wartość współczynnika zmienności v*, np. v* = 0,10. Zmienne spełniające nierówność vi  v* uznaje się za quasi – stałe i eliminuje ze zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających. Zmienne te nie wnoszą istotnych informacji.

Sprawdzono przy założonej wartości krytycznej współczynnika zmienności v* = 0,20, czy potencjalne zmienne objaśniające odznaczają się odpowiednio wysoką zmiennością.

Współczynniki zmienności poszczególnych zmiennych wyniosły odpowiednio:

 

         v1 = 0,44                                  v4 = 0,81

         v2 = 0,25                                  v5 = 0,44

         v3 = 0,32                                  v6 = 0,71

 

Ponieważ współczynniki zmienności wszystkich zmiennych są większe od założonej wartości krytycznej v*, dlatego też każda z nich zostaje wprowadzona do zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających.

 

 

Redukcja zmiennych i ich wybór do modelu

Kolejnym etapem, po sporządzeniu zestawu potencjalnych zmiennych, jest eliminacja zmiennych niezależnych słabo skorelowanych ze zmienną zależną. W tym celu należy zbadać zależność korelacyjną, która charakteryzuje się tym, że określonym wartościom jednej zmiennej przyporządkowane są ściśle określone średnie wartości drugiej zmiennej. Stopień zależności liniowej pomiędzy badanymi cechami mierzalnymi określany jest za pomocą współczynnika korelacji Pearsona ri.

Aby ocenić siłę liniowej zależności zmiennej objaśnianej Y i potencjalnych zmiennych objaśniających X1, X2, ..., Xm, oblicza się współczynniki korelacji:

 

                                ri =       (i = 1, 2, ...,m).                                

 

Współczynniki korelacji między potencjalnymi zmiennymi objaśniającymi X1, X2, ..., Xm są obliczane według wzoru:

 

                              rij =       (i, j = 1,2, ...,m).                             

 

 

Związki między zmiennymi objaśniającymi oraz między zmienną objaśnianą a zmiennymi objaśniającymi przedstawia macierz korelacji (tab. 2).

 

Tab. 2 Macierz korelacji zmiennych

 

Cena

Firma

Metraż

Pokoje

Piętro

Lokalizacja

Komfort

Cena

1,00

0,18

0,84

0,73

0,07

0,16

0,00

Firma

0,18

1,00

0,11

0,21

0,06

-0,11

0,19

Metraż

0,84

0,11

1,00

0,81

0,11

0,16

-0,03

Pokoje

0,73

0,21

0,81

1,00

0,16

0,21

0,01

Piętro

0,07

0,06

0,11

0,16

1,00

0,14

0,07

Lokalizacja

0,16

-0,11

0,16

0,21

0,14

1,00

-0,02

Komfort

0,00

0,19

-0,03

0,01

0,07

-0,02

1,00

Źródło: opracowanie własne z wykorzystaniu programu Microsoft Excel, funkcja: Współczynniki korelacji

Znak współczynnika korelacji informuje o kierunku korelacji, zaś jego bezwzględna wartość - o sile związku.

Współczynnik korelacji Pearsona przyjmuje wartości z przedziału [ -1, 1].

W analizach statystycznych zwykle przyjmuje się, że jeżeli współczynnik korelacji wynosi:

a)      Mniej niż 0,2, to praktycznie brak związku liniowego między badanymi cechami;

b)      0,2 – 0,4 – zależność liniowa wyraźna, lecz niska;

c)      0,4 – 0,7 – zależność umiarkowana;

d)      0,7 – 0,9 – zależność znacząca;

e)      Powyżej 0,9 – zależność bardzo silna.

Z wykonanej analizy wskaźników korelacji zmiennej objaśnianej cena i poszczególnych zmiennych niezależnych wynika, że zmienna objaśniana najsilniej skorelowana jest ze zmiennymi metraż i pokoje. Pozostałe zmienne wykazują się słabą korelacją ze zmienną zależną i w związku z tym eliminujemy je ze zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających.

Do modelu nie zostanie wprowadzona również zmienna pokoje, pomimo jej silnej korelacji ze zmienną cena, ponieważ wykazuje ona dużą korelację ze zmienną metraż.

 

2.2           Budowa modelu

 

Model ekonometryczny jest uproszczonym odwzorowaniem rzeczywistości, to znaczy przedstawia związki zachodzące w procesach gospodarczych, przy uwzględnieniu jedynie najbardziej istotnych czynników określających zmienność opisywanego zjawiska, przy jednoczesnym pominięciu czynników mniej ważnych, tzw. czynników ubocznych. Przez model ekonometryczny należy rozumieć równanie bądź układ równań opisujący zasadnicze powiązania zachodzące między rozpatrywanym zjawiskiem a wpływającymi na nie czynnikami.

 

Wybór postaci analitycznej

By móc zbudować model, konieczne jest określenie jego postaci analitycznej. W tym stadium konstrukcji modelu należy określić, w jaki sposób zmienna Y zależy od zmiennej lub zmiennych X.

W przeprowadzanej analizie model ma postać funkcji liniowej z jedną niewiadomą:

 

                                          Y =  α0 + α1X1 + ε                                                   

Parametr α0 interpretujemy jako poziom zmiennej objaśnianej Y, gdy zmienna objaśniająca przyjmuje wartość zero ( X1 = 0 ). Należy jednak zauważyć, że często parametr ten przyjmuje wartość ujemną i wtedy raczej trudno mówić o jego sensownej interpretacji ekonomicznej. Z kolei wzrost wartości zmiennej objaśniającej Xi ( i = 1, 2, ...,k ) o jednostkę powoduje zmianę wartości zmiennej objaśnianej o αi jednostek, przy dodatkowym założeniu o stałych wartościach pozostałych zmiennych objaśniających.

 

Szacowanie parametrów modelu

                 W konstrukcji modelu ekonometrycznego wiele zależy od realizacji etapu związanego z estymacją parametrów strukturalnych.

                 Szacowanie parametrów modelu ekonometrycznego sprowadza się do przypisywania określonym liczbowo parametrom - konkretnych wartości liczbowych. Szacowanie to powinno być przeprowadzone w taki sposób, aby zapewniło najlepsze dopasowanie modelu do danych empirycznych.

Powszechnie wykorzystywaną metodą szacowania parametrów liniowych modeli ekonometrycznych jest Metoda Najmniejszych Kwadratów. Idea tej metody sprowadza się do takiego wyznaczania wartości ocen a0, a1, ...,ak parametrów strukturalnych α0, α1, …,αk, aby suma kwadratów odchyleń zaobserwowanych wartości zmiennej objaśnianej od jej wartości teoretycznych obliczonych z modelu była najmniejsza. Warunek ten zapisuje się następująco:

                                                                                                                 

 

 

 

gdzie: et ( t = 1, 2, ...,n ) – odchylenie empirycznych wartości zmiennej objaśnianej od jej wartości teoretycznych nazywane resztami modelu:

                                                     et = yt -   ( t = 1, 2, ..., n ),                                                    

przy czym:

                                                      = a0 + a1Xti + ...  + akXtk.                                                    

 

Zastosowanie Metody Najmniejszych Kwadratów wymaga przyjęcia następujących założeń:

1)      szacowany model jest modelem liniowym,

2)      zmienne objaśniające są wielkościami nielosowymi o elementach ustalonych,

3)      nie występuje zjawisko współliniowości  zmiennych objaśniających,

4)      składnik losowy ma wartość oczekiwaną równą zeru i stałą skończoną wariancję,

5)      nie występuje zjawisko autokorelacji składnika losowego, czyli zależności składnika losowego w różnych jednostkach czasu.

 

Oszacowania parametrów dokonuję rozwiązując układ równań:

 

                        

 

                                         

 

 

Funkcja ma zatem postać:

 

Y = 16650,47 + 1535,93 X2 + ε.

 

Uwzględniony w modelu wyraz wolny, chociaż nie ma interpretacji statystycznej to jednak jest on bogatym źródłem treści ekonomicznych. Informuje nas o tym, że jeżeli powierzchnia mieszkania zmieni się tylko o 1 m2 to cena mieszkania wyniesie 18186,40 tzn., że wzrośnie ona o 1535,93, a wyraz wolny jest stałym składnikiem ceny. Jego znaczenie jest tym większe, ponieważ tylko zmienna metraż pozostaje w związku liniowym ze zmienna cena.

 

3                   WERYFIKACJA MODELU EKONOMETRYCZNEGO

            Po oszacowaniu parametrów modelu należy zbadać, czy zbudowany model dobrze opisuje badane zależności. Jeśli okaże się, że rozbieżność między otrzymanym modelem a danymi empirycznymi lub między otrzymanym modelem a wiedzą ekonomiczną o badanych zależnościach jest duża, wówczas należy go skorygować oraz poprawić. Weryfikacja modelu sprowadza się między innymi do zbadania stopnia zgodności modelu z danymi empirycznymi.

                Ocena dopasowania modelu do danych empirycznych ma na celu sprawdzenie, czy model ten w wystarczająco wysokim stopniu wyjaśnia kształtowanie się zmiennej objaśnianej. Do tego służą różne miary zgodności modelu z danymi empirycznymi. Podstawowymi miarami tego typu są: odchylenie standardowe reszt, współczynnik zmienności losowej, współczynnik zbieżności i współczynnik determinacji.

 

Odchylenie standardowe reszt

Odchylenie standardowe reszt - Se, czyli pierwiastek z wariancji resztSe2, informuje, o ile zaobserwowane wartości zmiennej objaśnianej przeciętnie różnią się od teoretycznych wartości tej zmiennej wyznaczonych z modelu. Odchylenie standardowe wynosi Se = 13257,04 , oznacza to, że przewidywane przez oszacowane równanie wartości zmiennej objaśnianej Y – cena średnio różnią się od empirycznych wartości tej zmiennej o 13257,04 (w m2.). Można to zapisać w sposób następujący:

 

Y =  16650,47 + 1535,93 X2 13257,04.

 

 

Analiza współczynnika zmienności losowej

Współczynnik zmienności losowej informuje jaki procent średniej arytmetycznej  zmiennej objaśnianej modelu stanowi odchylenie standardowe reszt. Mniejsze wartości współczynnika We wskazują na lepsze dopasowanie modelu do danych empirycznych.

Współczynnik zmienności losowej jest zdefiniowany następująco:

 

 

Jeżeli dla założonej z góry krytycznej wartości współczynnika zmienności losowej W* (np. W* = 15%) zachodzi nierówność:

We  W*

 

to model uznaje się za dostatecznie dobrze dopasowany do danych empirycznych. Przy przeciwnym kierunku nierówności dopasowanie uznaje się za zbyt słabe.

W przeprowadzonej analizie współczynnik zmienności losowej wyniósł:

                                            

We =

 

Jak wynika z powyższych obliczeń współczynnik zmienności losowej We = 13,68%, jest niższy od wartości krytycznej W* =15%  i oznacza to, że dane empiryczne są dobrze dopasowane do modelu.

 

Analiza współczynnika determinacji R2

            Współczynnik determinacji przyjmuje wartości z przedziału [0;1]. Informuje on, jaką część całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej stanowi zmienność wartości teoretycznych tej zmiennej tj. część zdeterminowana przez zmienne objaśniające. Dopasowanie modelu do danych jest tym lepsze, im współczynnik determinacji jest bliższy jedności.

Współczynnik determinacji wyraża się wzorem:

 

                                                            R2 =                                                            

 

W przeprowadzonej analizie współczynnik determinacji wyniósł: R2 = 0,7. Wskazuje to na wysokie dopasowanie równania do danych empirycznych. Za pomocą zmiennych objaśniających udało się objaśnić w prawie 70% wahania zmiennej objaśnianej.

 

Analiza współczynnika zbieżności

Współczynnik zbieżności przyjmuje wartości z przedziału [0;1]. Informuje on, jaką część całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej nie jest wyjaśniana przez model.  Dopasowanie modelu do danych jest tym lepsze, im współczynnik zbieżności jest bliższy zeru.

Współczynnik zbieżności wyraża się wzorem:

 


Między współczynnikami zbieżności i determinacji zachodzi relacja:

                                                                  φ2 + R2 = 1                                                                 

dlatego: φ2 = 1-R2.

 

Zatem dla weryfikowanego modelu:  φ2 = 1 – 0,7 = 0,3

W 30% ten model wyjaśniony jest przez różne elementy zakłóceń.

 

Analiza współczynnika korelacji wielorakiej R

O tym, że oszacowany model dobrze opisuje badaną zależność, informuje także współczynnik korelacji wielorakiej R, będący pierwiastkiem kwadratowym współczynnika determinacji R2. W tym modelu współczynnik ten wynosi 0,84, co oznacza, że stopień dopasowania modelu do danych jest dostatecznie wysoki.

 

4. PODSUMOWANIE

Oszacowany przeze mnie model bardzo dobrze opisuje badane zjawisko, o czym świadczą przedstawione wyniki i tabele. Podsumowując, cena mieszkań w najistotniejszym stopniu zależy od powierzchni użytkowej lokalu.

Wyraz wolny ma duże znaczenie ekonomiczne i również on jest istotny dla szacowanego modelu. Chociaż błąd prognozy jest dość duży i wynosi 13414, to i tak nie przekracza wartości wyrazu wolnego, co jest zjawiskiem pozytywnym.

Postawiony na wstępie cel pracy – dobranie właściwego modelu funkcji do zebranych danych – został osiągnięty. Oszacowany model został poddany szczegółowej weryfikacji, która wykazała jego poprawność.


5. LITERATURA

1.    Dziennik Ustaw nr 85, poz. 188

2.    Kucharska - Stasiak E. „Nieruchomość a rynek” Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego 1998r.

3.    Kucharska - Stasiak E. „Rynek nieruchomości. Wybrane problemy” Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego 1999r.

4.    Nowak E., Zarys metod ekonometrii, PWN Warszawa 1998.

5.    Ostasiewicz S., Rusnak Z., Siedlecka U., Statystyka, A.E. Wrocław 1998.

6.    Welfe A., Ekonometria, PWE Warszawa 1998

7.    z dn.5.08.2003

8.    www.ekonometria.pomoc.prv.pl



[1] Dziennik ustaw nr 85, poz. 188.

[2] Ewa Kucharska – Stasiak „Nieruchomość a rynek”