Powrót - ekonometria

Prognozowanie ekonometryczne

 

 

                Etapem wieńczącym budowę modelu ekonometrycznego jest praktyczne wykorzystanie modelu, najczęściej w procesie predykcji. Predykcją ekonometryczną nazywamy proces wnioskowania w przyszłość na podstawie modelu ekonometrycznego. Efektem predykcji jest oszacowanie nieznanej wartości zmiennej objaśnianej w okresie prognozowanym, zwane często prognozą.

Prognozy ekonometryczne mogą być punktowe lub przedziałowe. Prognoza punktowa y_t jest liczbą, którą przyjmujemy za najlepszą ocenę wartości zmiennej objaśnianej w okresie prognozowanym.

Prognozę punktową wyznaczamy zgodnie ze wzorem:

 

y_t  =  m_t * A

 

 gdzie:

m_t - to wektor wartości zmiennych objaśniających w okresie t spoza próby, a t > n

A - oszacowania parametrów strukturalnych modelu przed standaryzacją,

 

lub podstawiając A = (Z^TZ)^-1Z^TY, ze wzoru

 

y_t  =  m_t(Z^TZ)^-1Z^TY

 

Prognoza przedziałowa jest przedziałem liczbowym, w którym z zadanym prawdopodobieństwem zawiera się nieznana wartość zmiennej objaśnianej Y w okresie t.

W celu wyznaczenia prognozy przedziałowej zakładamy, że składnik losowy x ma rozkład normalny. Jeżeli przyjmujemy prawdopodobieństwo na poziomie b, to przedział ten jest równy <a, b>, a zatem

 

P(a £ y _t£ b) = b

 

gdzie:

a = y_t - u_bS_yt

b = y_t - u_bS_yt,

 

przy czym

 

y_t - prognoza punktowa

S_yt - średni błąd prognozy

u_b - wartość dystrybuanty rozkładu normalnego odpowiadająca wiarygodności b i odczytujemy ją z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego. 

 

 

Dla prognozy wyznaczamy średni błąd prognozy S_yt, który mówi nam o ile przeciętnie odchylić się może prognoza wartość zmiennej Y w okresie t od rzeczywistej wartości zmiennej Y w tym okresie.

 

 

Średni błąd prognozy wyznaczamy ze wzoru

 

 

 

 

 

W naszym modelu posłużymy się prognozą punktową. W celu jej wyznaczenia wykorzystamy pojedynczą macierz brzegową postaci

 

 

            Z^TZ          Z^TY

P_t =

            -m_t             0

 

 

Dla naszego modelu macierz Z^TZ wygląda następująco

 

 

                    10,000         1607,446         15647,000

Z^TZ =      1607,446     258474,399     2514581,183

              15647,000   2514581,183   24626167,000

 

natomiast wektor Z^TY przyjmuje wartości

 

 

                     857,800

Z^TY =     138227,201

             1313003,700

 

Przyjmujemy, że zmienne objaśniająca na 11-ty okres, tj. rok 2000, przyjmują wartości

 

 

m_t  =    1,000    160,341    1778

 

Zatem macierz brzegowa, którą będziemy przekształcać wygląda następująco:

 

                 10,000         1607,446         15647,000              857,800

             1607,446     258474,399     2514581,183        138227,201

P_t=     15647,000   2514581,183   24626167,000      1313003,700

 

                 -1,000         -160,341          -1778,000                   0,000

 

 

Uzyskaliśmy wynik y_t  =  43,572.

Następnie zajmiemy się wyznaczeniem błędu szacunku.

 

Korzystając z wcześniejszych obliczeń wiemy, że S_x² = 30,826, natomiast (1 + m_t(Z^TZ)^-1m_t^T) wyznaczymy korzystając z macierzy brzegowej postaci:

 

     

         Z^TZ         m_t^T

        

         -m_t               1

 

która dla naszego modelu przyjmuje wartości

 

 

              10,000          1607,446          15647,000               857,800

          1607,446      258474,399      2514581,183         138227,201

        15647,000    2514581,183    24626167,000       1313003,700

 

               -1,000          -160,341           -1778,000                   1,000

 

 

1 + m_t(Z^TZ)^-1m_t^T = 1,420.

 

Stąd też

 

 

Oznacza to, że przewidywana ilość dzieci przebywających w żłobkach w roku 2000 wyniesie 43,572 tys. dzieci, jednak wielkość ta może się różnić od rzeczywistej przeciętnie o 6,616 tys. dzieci.