Ważona metoda najmniejszych kwadratów

 

Metoda ta jest jednym ze szczególnych przypadków uogólnionej metody najmniejszych kwadratów.

Jak wiadomo jedno z założeń KMNK mówi o stałości wariancji składnika losowego

Istnieją jednak badania ekonomiczne które charakteryzują się często brakiem

tej cechy składnika losowego.

Pytanie: 

Jakie własności traci estymator parametrów strukturalnych oszacowany KMNK gdy składnik losowy nie jest homoskedastyczny ?

Odpowiedź:

Otóż pozostaje zgodny, nieobciążony ale jest już nieefektywny.

Obciążonym staje się tez estymator wariancji tych parametrów co może dawać zbyt optymistyczny obraz weryfikacji statystycznej.

 

Jak ogólnie wiadomo macierz wariancji i kowariancji składnika losowego homoskedastycznego

W przypadku modelu ze składnikiem heteroskedastycznym macierz tą można zapisać następująco:

gdzie:

Nasze działania są zależne od tego czy macierz omega jest znana czy też nie.

Znajomość tej macierzy umożliwia użycie UMNK.

Niestety w większości przypadków nie znamy jej i musimy estymować wariancję składnika losowego

Do zbadania zjawiska heteroskedastyczności korzystamy z różnych testów m.in.:

najpopularniejszy test F w którym testujemy iloraz wariancji dwóch arbitralnie co do liczebności przyjętych części 

szeregu składnika losowego.

Popularnym testem jest test Goldfelda-quandta w którym budujemy dwa modele oparte o 

dwie próbki naszych danych statystycznych, a następnie obliczamy statystykę 

będącą ilorazem otrzymanych wariancji (także posługując się rozkładem F).

W przypadku stwierdzenia heteroskedastyczności jesteśmy zmuszeni szacować parametry inną metodą niż MNK.

Pomoże nam tutaj przedstawiona w punktach ważona MNK:

1. Zwyczajnie (MNK) szacujemy parametry naszego modelu

2.Wyznaczamy reszty naszego modelu e1,e2,...en.

3.Istnieją trzy metody podejścia na tym etapie:

3a) Konstruujemy model pomocniczy w którym kwadraty reszt e21,e22,...e2n.

będą stanowić zmienną objaśnianą zaś objaśniającymi zmienne z poprzedniego modelu

oraz ewentualnie ich funkcje a szczególnie te zmienne które podejrzewamy o wystąpienie

zjawiska heteroskedastyczności.

Model może przyjąć przykładową postać:

gdzie zmienne zi to po prostu zmienne xi lub np. ich funkcje (istnieje tu pewna dowolność)

Obliczamy wartości teoretyczne zmiennej a wagi obliczane są w następujący sposób:

Jeśli wartości teoretyczne są ujemne nie obliczymy pierwiastka i należy stosować 3b lub 3c:

3b) Budujemy pomocniczy model w którym tym razem moduły reszt będą objaśnianą (wartości bezwzględne).

Wartości teoretyczne z tego modelu posłużą do liczenia wag w podobny sposób:

3c) Model pomocniczy objaśnia tym razem logarytm kwadratów reszt a zmienne objaśniające są przyjmowane jak w 3a.

Po obliczeniu wartości teoretycznych obliczamy wartości pomocnicze:

i wyznaczamy wagi:

4. Po zastosowaniu jednej z powyższych metod konstruujemy model w oparciu o pierwotne dane o postaci:

szacując go oczywiście KMNK.

Metoda ważona pozwala zatem nadać obserwacjom o niskiej wariancji składnika losowego większe wagi a tym które mają ją zbyt wysoką mniejsze wagi.

W ten sposób eliminuje się niekorzystny wpływ zakłócających obserwacji na otrzymane oceny estymatorów.

Oceny parametrów są liniowymi, zgodnymi, nieobciążonymi i najefektywniejszymi szacunkami parametrów strukturalnych modelu.

opracował:
red. Marian


Wszelkie publikacje prezentowane tutaj są chronione prawami autorskimi.
Kopiowanie zabronione zgodnie z Ustawą z dnia 4 lutego 1994 r. o prawie autorskim
i prawach pokrewnych
All right reserved © 2006 www.ekonometria.com

ekonometria